Question

3．已知函數(shù)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）是k型函數(shù)．給出下列說法：
①函數(shù)f（x）=$\frac{3x-1}{x}$不可能是k型函數(shù)；
②若函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函數(shù)，則m=-4，n=0；
③設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則k的最小值為$\frac{4}{9}$；
④若函數(shù)y=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函數(shù)，則n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
下列選項正確的是（　�。�

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ②④

Answer 1

分析 根據(jù)題目中的新定義，結(jié)合函數(shù)與方程的知識，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．

解答 解：對于①，f（x）的定義域是{x|x≠0}，假設(shè)f（x）是k型函數(shù)，則方程$\frac{3x-1}{x}$=kx有相異兩實根，
即kx²-3x+1=0（k≠0）有相異兩實根，∴△=3²-4k＞0，得k$＜\frac{9}{4}$．
∴假設(shè)成立，函數(shù)f（x）=$\frac{3x-1}{x}$是k型函數(shù)，故①錯誤；
對于②，y=-$\frac{1}{2}$x²+x是3型函數(shù)，即-$\frac{1}{2}$x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0，故②正確；
對于③，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則x³+2x²+x=kx有二不等負(fù)實數(shù)根，即x²+2x+（1-k）=0有二不等負(fù)實數(shù)根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-k＞0}\\{4-4（1-k）＞0}\end{array}\right.$，解得0＜k＜1，故③錯誤；
對于④，y=$\frac{（{a}^{2}+a）x-1}{{a}^{2}x}$（a≠0）是1型函數(shù)，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x₁-x₂=$\sqrt{（{x}_{1}-{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（\frac{a+1}{a}）^{2}-4•\frac{1}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{a}+\frac{1}{{a}^{2}}-\frac{4}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{2}{a}-\frac{3}{{a}^{2}}}$≤$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，即n-m的最大值為$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故④正確．
綜上，正確的命題是②④．
故選：D．

點評 本題是新定義題，考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了在新定義下函數(shù)的定義域、值域問題以及解方程的問題，是中檔題也是易錯題．