Question

某人需要補(bǔ)充維生素．現(xiàn)有甲、乙兩種維生素膠囊，它們都含有維生素A、C、E和最新發(fā)現(xiàn)的Z．甲種每粒含有維生素A、C、E、Z分別是1mg，2mg，4mg，3mg；乙種每粒含有維生素A、C、E、Z分別是3mg，1mg，3mg，2mg．若此人每天攝入維生素A至多18mg，維生素C至多13mg，維生素E至少12mg，則他每天應(yīng)服用兩種膠囊和多少粒才能滿足需要量，并能得到最大最的維生素Z？

Answer 1

考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)已知條件中解：設(shè)他每天應(yīng)服用甲種膠囊x粒，乙種膠囊y粒，才能滿足維生素的需要量，并能獲得最大量的維生素z，（mg），由題意得出約束條件，及目標(biāo)函數(shù)，然后利用線性規(guī)劃，求出最優(yōu)解．

解答： 解：設(shè)他每天應(yīng)服用甲種膠囊x粒，乙種膠囊y粒，才能滿足維生素的需要量，并能獲得最大量的維生素z mg．
則

x+3y≤18 2x+y≤13 4x+3y≥12 x∈N，y∈N

，目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y，
作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖所示．做直線l₀：3x+2y=0，
朋友直線3x+2y=z，由平移可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，截距最大，
此時(shí)由

x+3y=18 2x+y=13

，解得

x= 21 5 y= 23 5

，不是整數(shù)解，不滿足條件，需要調(diào)整直線位置，
考查點(diǎn)A附近的可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)B（5，3），C（4，4），D（3，5），
可得當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，截距最大
即x=5，y=3時(shí)，z=3x+2y=15+6=21 mg為最大量．
故那么他每天應(yīng)服用兩種膠囊各5粒，3粒才能滿足維生素的需要量，并能獲得最大量的維生素Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)條件建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件是解決本題的關(guān)鍵．調(diào)整最優(yōu)解是本題的難點(diǎn)．