設雙曲線的左、右頂點分別為A1，A2垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點p，Q．
（1）若直線m與x軸正半軸的交點為T，且，求點T的坐標；
（2）求直線A1P與A2Q的交點M的軌跡E的方程．
【答案】分析：（1）利用已知，得到P的坐標滿足的等式，又點P在雙曲線上得到p的坐標滿足的另一個等式，解方程組求出p的坐標，進一步得到T的坐標．
（2）利用A1，P，M三點共線，得：，由A2，Q，M三點共線，，
從中得到，又P（x，y）在雙曲線上，
代入雙曲線方程求出軌跡方程．
解答：解：（1）由題意得，設P（x，y），Q（x，-y），
則．
由，
即x2-y2=3，①…（3分）
又P（x，y）在雙曲線上，則．②
聯(lián)立①、②，解得：x=±2，由題意，x＞0，
∴x=2，
∴點T的坐標為（2，0）…（6分）
（2）設直線A1P與A2Q的交點M的坐標為（x，y），
由A1，P，M三點共線，得：，①
由A2，Q，M三點共線，得：，②
聯(lián)立①、②，解得：．…（9分）
∵P（x，y）在雙曲線上，
∴
∴軌跡E的方程為．…（12分）
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生對解析幾何學知識的綜合運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設MN是雙曲線
x2
4
-
y2
3
=1的弦，且MN與x軸垂直，A1、A2是雙曲線的左、右頂點．
（Ⅰ）求直線MA1和NA2的交點的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設直線y=x-1與軌跡C交于A、B兩點，若軌跡C上的點P滿足
.
OP
=λ
.
OA
+μ
.
OB
（O為坐標原點，λ，μ∈R）
求證：λ2+μ2-
10
7
λμ為定值，并求出這個定值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2009•日照一模）已知離心率為
4
5
的橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，雙曲線以橢圓的長軸為實軸，短軸為虛軸，且焦距為2
34
．
（I）求橢圓及雙曲線的方程；
（Ⅱ）設橢圓的左、右頂點分別為A，B，在第二象限內(nèi)取雙曲線上一點P，連結(jié)BP交橢圓于點M，連結(jié)PA并延長交橢圓于點N，若
BM
=
MP
．求四邊形ANBM的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：模擬題 題型：解答題

設雙曲線的左、右頂點分別為A1、A2，點P（x1，y1）、Q（x2，-y1）是雙曲線上不同的兩個動點。
（1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；
（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由。

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科目：高中數(shù)學 來源：模擬題 題型：解答題

設雙曲線的左、右頂點分別為A1、A2，點P（x1，y1），Q（x1，-y1）是雙曲線上不同的兩個動點。
 （1）求直線A1P與A2Q交點的軌跡E的方程；
 （2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A、B，且？若存在，求出該圓的方程；若不存在，說明理由。

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