Question

10．已知R上的不間斷函數(shù)g（x）滿(mǎn)足：
①當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＜0恒成立；
②對(duì)任意的x∈R都有g(shù)（-x）=-g（x）．函數(shù)f（x）滿(mǎn)足：對(duì)任意的x∈R，都有f（$\sqrt{3}$+x）=-f（x）成立，當(dāng)x∈[0，$\sqrt{3}$]時(shí)，f（x）=x³-3x．
若關(guān)于x的不等式g[f（x）]≥g（a²-a+2），對(duì)于x∈[-3，3]恒成立，則a的取值范圍為（-∞，0]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 由于函數(shù)g（x）滿(mǎn)足：①當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0恒成立（g'（x）為函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)）；②對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），這說(shuō)明函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，且有g(shù)|（x|）=g（x），所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）?|f（x）|≤|a²-a+2|對(duì)x∈[-3，3]恒成立，只要使得|f（x）|在定義域內(nèi)的最大值小于等于|a²-a+2|的最小值，然后解出即可．

解答 解：因?yàn)楹瘮?shù)g（x）滿(mǎn)足：當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）＞0恒成立，
且對(duì)任意x∈R都有g(shù)（x）=g（-x），
則函數(shù)g（x）為R上的偶函數(shù)且在[0，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，
且有g(shù)（|x|）=g（x），
所以g[f（x）]≤g（a²-a+2）在R上恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+2|對(duì)x∈[-3，3]恒成立，
只要使得定義域內(nèi)|f（x）|_max≤|a²-a+2|，
由于當(dāng)x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{3}-3\sqrt{3}{x}^{2}-6x，x∈[-\sqrt{3}，0]}\\{{x}^{3}-3x，x∈[0，\sqrt{3}]}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈[-$\sqrt{3}$，0]時(shí)，令f′（x）=-3x2-6$\sqrt{3}$x-6=0，得x=1-$\sqrt{3}$或x=1+$\sqrt{3}$（舍去）
∴f（x）在[-$\sqrt{3}$，1-$\sqrt{3}$]上單調(diào)遞增，在[1-$\sqrt{3}$，0]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_max=f（1-$\sqrt{3}$）=2，f（x）_min=f（-$\sqrt{3}$）=f（0）=0，
當(dāng)x∈[0，$\sqrt{3}$]時(shí)，f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）=0，得x=1或x=-1（舍去），
∴f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，在[1，$\sqrt{3}$]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（1）=-2，f（x）_max=f（0）=f（$\sqrt{3}$）=0，
又由于對(duì)任意的x∈R都有f（ $\sqrt{3}$+x）=-f（x），
∴f（2$\sqrt{3}$+x）=-f（$\sqrt{3}$+x）=f（x）成立，則函數(shù)f（x）為周期函數(shù)且周期為T(mén)=2$\sqrt{3}$，
所以函數(shù)f（x）在x∈[-3，3]的最大值為2，所以令2≤|a²-a+2|解得：a≥1或a≤0．
故答案為：（-∞，0]∪[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了利用導(dǎo)函數(shù)求得函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù)的周期的定義，及利用周期可以求得當(dāng)x∈[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]時(shí)，f（x）=x³-3x，的值域?yàn)閇-2，2]，還考查了函數(shù)恒成立條件的應(yīng)用．