Question

【題目】已知函數(shù)h（x）=lnx+ ．
（1）函數(shù)g（x）=h（2x+m），若x=1是g（x）的極值點(diǎn)，求m的值并討論g（x）的單調(diào)性；
（2）函數(shù)φ（x）=h（x）﹣ +ax2﹣2x有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，其極小值為M，試比較2M與﹣3的大小關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=ln（2x+m）+ ，（x＞﹣ ），

g′（x）= ﹣ = ，

若x=1是g（x）的極值點(diǎn)，

則g′（x）= =0，解得：m=﹣1，

故g（x）=ln（2x﹣1）+ ，（x＞ ），

g′（x）= ，

令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得： ＜x＜1，

故g（x）在（ ，1）遞減，在（1，+∞）遞增

（2）解：φ（x）=h（x）﹣ +ax2﹣2x=ax2﹣2x+lnx（x＞0）

φ′（x）=2ax﹣2+ = （x＞0）

∵φ（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，

∴2ax2﹣2x+1=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同的實(shí)根．

設(shè)p（x）=2ax2﹣2x+1=0，

則 ，即 ，即有0＜a＜ ．

設(shè)p（x）在（0，+∞）的兩根x1，x2且x1＜x2，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
φ′（x）	+	0	﹣	0	+
φ（x）	遞增	極大值	遞減	極小值	遞增

∴φ（x）的極小值為M=φ（x2）=ax22﹣2x2+lnx2

又p（x）=0在（0，+∞）的兩根為x1，x2，

∴2ax22﹣2x2+1=0

∴φ（x）極小值=M=φ（x2）=ax22﹣2x2+lnx2

=x2﹣ ﹣2x2+lnx2=﹣ +lnx2﹣x2，

∴2M=﹣1+2lnx2﹣2x2，

∵x2= （0＜a＜ ）

∴x2＞1令v（x）=﹣1+2lnx﹣2x，v′（x）= ﹣2，

∴x＞1時(shí)，v′（x）＜0，v（x）在（1，+∞）遞減，

∴x＞1時(shí)，v（x）=﹣1+2lnx﹣2x＜v（1）=﹣3，

∴2M＜﹣3．

【解析】（1）求出g（x）=h（x+m）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)g′（1）=0，求出m的值，從而求出g（x）的解析式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）對φ（x）求導(dǎo)數(shù)，φ（x）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，即為2ax2﹣2x+1=0在（0，+∞）有兩個(gè)不同的實(shí)根．設(shè)p（x）=2ax2﹣2x+1=0，運(yùn)用韋達(dá)定理和判別式，即可得到0＜a＜ ．列表得到φ（x）的單調(diào)區(qū)間和極值的關(guān)系，即可得到極小值M，令v（x）=﹣1+2lnx﹣2x，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，得到v（x）在（1，+∞）遞減，運(yùn)用單調(diào)性即可得到2M＜﹣3．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，掌握求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．