Question

已知直線y=a與曲線y=x³-3x+1有三個交點，則a的取值范圍是（　　）

A．[-1，3]

B．（-∞，+∞）

C．（-3，1）

D．（-1，3）

Answer 1

分析：先將兩曲線有三個交點問題，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）有三個零點問題，利用導數(shù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值，列不等式即可得a的范圍

解答：解：直線y=a與曲線y=x³-3x+1有三個交點即函數(shù)f（x）=x³-3x+1-a有三個不同的零點
∵f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上為增函數(shù)，在（-1，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)
∴x=-1時，函數(shù)取極大值f（-1）=3-a，x=1時，函數(shù)取極小值f（1）=-1-a
要使函數(shù)f（x）=x³-3x+1-a有三個不同的零點
只需

f(-1)＞0 f(1)＜0

即

3-a＞0 -1-a＜0

∴-1＜a＜3
故選 D

點評：本題主要考查了函數(shù)零點與圖象交點間的關系和相互轉(zhuǎn)化，三次函數(shù)零點個數(shù)問題，導數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值中的應用