Question

若曲線y=2x-x³在橫坐標(biāo)為-1的點(diǎn)處的切線為l，則圓（x-3）²+（y-2）²=1上任意一點(diǎn)到直線l的距離的最小值為（　�。�

• A．

  7 2

  2

  -1
• B．

  9 2

  2

  -1
• C．

  11 2

  2

  -1
• D．

  7 2

  2

  +1

Answer 1

分析：將-1代解析式求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出y=2x-x³的導(dǎo)數(shù)，將-1代入求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式求出切線的方程，整理成一般式，點(diǎn)到直線的距離公式求出距離，最后減去半徑即可求出所求．

解答：解：∵y=2x-x³
∴y'=2-3x²
又切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1，故切點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-1，y'=-1
故切線的方程是y+1=-（x+1），即切線的方程是x+y+2=0
所以圓心（3，2）到直線l的距離d=

7

2

=

7 2

2

∴圓（x-3）²+（y-2）²=1上任意一點(diǎn)到直線l的距離的最小值為

7 2

2

-1
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，點(diǎn)到直線的距離公式，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．