Question

16．已知P為橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則|PF₁|•|PF₂|的最大值是4，|PF₁|²+|PF₂|²的最小值是8．

Answer 1

分析 借助于橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，利用基本不等式的性質(zhì)即可|PF₁|•|PF₂|的最大值．利用PF₁|•|PF₂|的最大值，即可得到的|PF₁|²+|PF₂|²的最小值．

解答 解：由題意：橢圓$\frac{x^2}{4}$+y²=1，可得a=2，P時(shí)橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)．
由橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=2a，設(shè)|PF₁|=m，|PF₂|=n，即m+n=2a=4，
∴m+n$≥2\sqrt{mn}$，當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)．
所以：mn≤4
即|PF₁|•|PF₂|的最大值為4．
|PF₁|²+|PF₂|²的=m²+n²≥2mn=8當(dāng)且僅當(dāng)m=n時(shí)取等號(hào)．
所以|PF₁|²+|PF₂|²的最小值8．
故答案為：4，8．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義與基本不等式的結(jié)合的靈活運(yùn)能力．屬基礎(chǔ)題，