Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+xlnx，（a∈R）
（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，判斷函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的單調(diào)性并給予證明；
（2）在區(qū)間（1，2）內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p，q，且p≠q，若不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求證：

ln2

23

+

ln3

33

+

ln4

43

+…+

lnn

n3

＜

1

e

（其中n＞1，n∈N^*，e=2.71828…）

Answer 1

分析：（1）將a=-

1

2

代入f（x），確定定義域?yàn)椋?，+∞），利用導(dǎo)數(shù)判斷f′（x）在（0，+∞）上的正負(fù)，從而確定f（x）在定義域中的單調(diào)性；
（2）由于

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1表示點(diǎn)（p+1，f（p+1）） 與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，函數(shù)圖象上在區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，即f′（x）=2ax+lnx+1＞1 在（2，3）內(nèi)恒成立，最后利用參變量分離法可求出a的取值范圍；
（3）構(gòu)造p（x）=

lnx

x

，然后利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大值，從而得到

lnx

x

＜

1

e

，則

lnx

x3

＜

1

ex2

，即

lnn

n3

＜

1

en2

，則則

ln2

23

+

ln3

33

+

ln4

43

+…+

lnn

n3

＜

1

e

（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

），然后利用放縮法可證得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)a=-

1

2

時(shí)，f（x）=-

1

2

x²+xlnx，
函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減．
下面給出證明：
f′（x）=-x+lnx+1，
令g（x）=-x+lnx+1，則g′（x）=-1+

1

x

=

1-x

x

，
∴當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，g′（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴g（x）在x=1時(shí)，g（x）取得最大值，即g（1）=0，
∴g（x）＜g（1）=0，即f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減；
（2）由于

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1表示點(diǎn)（p+1，f（p+1）） 與點(diǎn)（q+1，f（q+1））連線的斜率，
∵實(shí)數(shù)p，q在區(qū)間（1，2）內(nèi)，
∴p+1 和q+1在區(qū)間（2，3）內(nèi)．
∵不等式

f(p+1)-f(q+1)

p-q

＞1恒成立，
∴函數(shù)圖象上在區(qū)間（2，3）內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，
∴f′（x）=2ax+lnx+1＞1 在（2，3）內(nèi)恒成立，
又由函數(shù)的定義域知，x＞0，
∴a＞-

lnx

2x

在（2，3）內(nèi)恒成立，
令h（x）=-

lnx

2x

，則h′（x）=

lnx-1

2x2

=0，解得x=e，
當(dāng)x∈（2，e）時(shí)，h′（x）＜0，故函數(shù)h（x）在（2，e）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（e，3）時(shí)，h′（x）＞0，故函數(shù)h（x）在（e，3）上單調(diào)遞增，
∴h（x）≤g（2）=-

ln2

4

，h（x）≤g（3）=-

ln3

6

，而-

ln2

4

＞-

ln3

6

，
∴a≥-

ln2

4

，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-

ln2

4

，+∞）；
（3）證明：構(gòu)造p（x）=

lnx

x

，則p′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得x=e，
當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，p′（x）＞0，故函數(shù)p（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，p′（x）＞0，故函數(shù)p（x）在（e，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)p（x）取最大值

1

e

，則

lnx

x

＜

1

e

，
∴

lnx

x3

＜

1

ex2

，即

lnn

n3

＜

1

en2

，
則

ln2

23

+

ln3

33

+

ln4

43

+…+

lnn

n3

＜

1

e

（

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＜

1

e

[

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

]=

1

e

（1-

1

n

）＜

1

e

，
∴

ln2

23

+

ln3

33

+

ln4

43

+…+

lnn

n3

＜

1

e

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查斜率公式的應(yīng)用，函數(shù)的恒成立問題，以及利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值，同時(shí)考查了導(dǎo)數(shù)在不等式上的應(yīng)用，以及運(yùn)算求解的能力，屬于難題．