Question

已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓的方程為它的離心率為，一個焦點(diǎn)是(-1,0)，過直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B.
(1)求橢圓的方程；
(2)若在橢圓上的點(diǎn)處的切線方程是.求證：直線AB恒過定點(diǎn)C，并求出定點(diǎn)C的坐標(biāo)；
(3)是否存在實(shí)數(shù),使得求證： (點(diǎn)C為直線AB恒過的定點(diǎn)).若存在，請求出，若不存在請說明理由

Answer 1

（I）橢圓方程為. （II）直線AB恒過定點(diǎn). （III）

解析試題分析：（I）設(shè)橢圓方程為的焦點(diǎn)是，故，又，所以，所以所求的橢圓方程為.    4分
（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,,直線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)，則切線方程分別為，，又兩切線均過點(diǎn)M，即，即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程，故直線AB的方程是，顯然直線恒過點(diǎn)（1,0），故直線AB恒過定點(diǎn).  8分
（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得
，即，
所以，不妨設(shè)，
，同理，  12分
所以
，
即，  14分
考點(diǎn)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，存在性問題研究。
點(diǎn)評：難題，曲線關(guān)系問題，往往通過聯(lián)立方程組，得到一元二次方程，運(yùn)用韋達(dá)定理。本題求橢圓、標(biāo)準(zhǔn)方程時，主要運(yùn)用了橢圓的幾何性質(zhì)。對于存在性問題，往往先假設(shè)存在，利用已知條件加以探究，以明確計(jì)算的合理性。本題（III）通過假設(shè)t，利用韋達(dá)定理進(jìn)一步確定相等長度，明確了關(guān)系。