Question

【題目】已知橢圓的焦距為，且C與y軸交于兩點(diǎn)．

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)P點(diǎn)是橢圓C上的一個動點(diǎn)且在y軸的右側(cè)，直線PA，PB與直線交于M，N兩點(diǎn)．若以MN為直徑的圓與x軸交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，求P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1) ;(2)見解析.

【解析】

試題分析：（1）由橢圓的焦距為，可得，由可得 ，結(jié)合可得,進(jìn)而可得結(jié)果；（2）設(shè)，可得，直線的方程為，同理得直線的方程為， 求得，，可得圓的方程為，利用這個圓與軸相交,方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，即可得結(jié)果．

試題解析：（Ⅰ）由題意可得，，所以,， 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（Ⅱ）設(shè)，，，

所以，直線的方程為，

同理得直線的方程為，

直線與直線的交點(diǎn)為，

直線與直線的交點(diǎn)為，線段的中點(diǎn)，

所以圓的方程為．

令，則， 因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)檫@個圓與軸相交,所以該方程有兩個不同的實(shí)數(shù)解，

則，又0，解得．

解法二:直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得：，，

同理設(shè)直線的方程為可得，

由，可得，

所以，，的中點(diǎn)為，

所以為直徑的圓為．

時，，所以，

因?yàn)?/span>為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，所以，

代入得：，所以，

所以在單增，在單減，所以．