精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

設等差數列的公差為,且.若設是從開始的前項數列的和,即,,如此下去,其中數列是從第開始到第)項為止的數列的和,即
(1)若數列,試找出一組滿足條件的,使得:
(2)試證明對于數列,一定可通過適當的劃分,使所得的數列中的各數都為平方數;
(3)若等差數列.試探索該數列中是否存在無窮整數數列
,使得為等比數列,如存在,就求出數列;如不存在,則說明理由.

(1);(2)證明見解析;(3)不存在,證明見解析.

解析試題分析:(1)仔細閱讀題目,其實會發(fā)現第2小題已經給我們指明了方向,從第一個數開始適當劃分,使每段的和為平方數,同時想辦法滿足,這樣既完成了第1小題,又可完成第2小題,從最簡單入手,,,因此思考是否可能有呢?,這樣第1小題完成;(2)這類問題實質就是要我們作出一個符合條件的劃分,由(1)的分析,可知只要,則所得劃分就是符合題意的,事實上,,
,是完全平方數;(3)這類問題總是假設存在,然后推導,能求出就說明存在,不能求出或推導出矛盾的結論就說明不存在,可以計算出,數列必定是公比大于1的整數的等比數列,但事實上,,從而要求是完全平方數,這是不可能的,故假設錯誤,本題結論是不存在.
試題解析:(1)則;(4分)
(2)記,又由,,所以第二段可取3個數,;再由,即,因此第三段可取9個數,即,依次下去, 一般地:,(6分)
所以,(8分)
(9分)

由此得證.(11分)
(3)不存在.令,則 
假設存在符合題意的等比數列, 則的公比必為大于的整
數,(,因此,即
此時,注意到,  (14分)
要使成立,則必為完全平方數,(16分)
,矛盾.因此不存在符合題意的等差數列.(18分)
考點:(1)構造法解題;(2)存在性命題;(2)數列的綜合性問題.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

在等差數列中,,公差為,其前項和為,在等比數列 中,,公比為,且
(1)求;
(2)設數列滿足,求的前項和

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

成等差數列的三個正數的和等于15,并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列中的、.
(1)求數列的通項公式;
(2)數列的前n項和為,求證:數列是等比數列.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

設各項均為正數的數列的前n項和為Sn,已知,且對一切都成立.
(1)若λ=1,求數列的通項公式;
(2)求λ的值,使數列是等差數列.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知數列為等差數列,且
(1)求數列的通項公式;
(2)證明 .

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知正項數列的前項和為,且滿足:.
(1)求的通項公式;
(2)設,求的前項和
(3)在(2)的條件下,對任意,都成立,求整數的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知數列為等差數列,其公差d不為0,的等差中項為11,且,令,數列的前n項和為.
(1)求;
(2)是否存在正整數m,n(1<m<n),使得成等比數列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知是公比為的等比數列,且成等差數列.
⑴求的值;
⑵設是以為首項,為公差的等差數列,求的前項和.

查看答案和解析>>

科目:高中數學 來源: 題型:解答題

已知等差數列的首項為,公差為,數列滿足,.
(1)求數列的通項公式;
(2)記,求數列的前項和.
(注:表示的最大值.)

查看答案和解析>>

同步練習冊答案