設等差數列的公差為
,且
.若設
是從
開始的前
項數列的和,即
,
,如此下去,其中數列
是從第
開始到第
)項為止的數列的和,即
.
(1)若數列,試找出一組滿足條件的
,使得:
;
(2)試證明對于數列,一定可通過適當的劃分,使所得的數列
中的各數都為平方數;
(3)若等差數列中
.試探索該數列中是否存在無窮整數數列
,使得
為等比數列,如存在,就求出數列
;如不存在,則說明理由.
(1);(2)證明見解析;(3)不存在,證明見解析.
解析試題分析:(1)仔細閱讀題目,其實會發(fā)現第2小題已經給我們指明了方向,從第一個數開始適當劃分,使每段的和為平方數,同時想辦法滿足,這樣既完成了第1小題,又可完成第2小題,從最簡單入手,
,
,因此思考是否可能有
呢?
,這樣第1小題完成;(2)這類問題實質就是要我們作出一個符合條件的劃分,由(1)的分析,可知只要
,則所得劃分就是符合題意的,事實上,
,
,
是完全平方數;(3)這類問題總是假設存在,然后推導,能求出就說明存在,不能求出或推導出矛盾的結論就說明不存在,可以計算出
,數列
必定是公比
大于1的整數的等比數列,但事實上,
,從而要求
是完全平方數,這是不可能的,故假設錯誤,本題結論是不存在.
試題解析:(1)則;(4分)
(2)記即
,又由
,
,所以第二段可取3個數,
;再由
,即
,因此第三段可取9個數,即
,依次下去, 一般地:
,
(6分)
所以,(8分)
(9分)
則.
由此得證.(11分)
(3)不存在.令,則
假設存在符合題意的等比數列, 則的公比必為大于
的整
數,(,因此
,即
此時,注意到, (14分)
要使成立,則
必為完全平方數,(16分)
但,矛盾.因此不存在符合題意的等差數列
.(18分)
考點:(1)構造法解題;(2)存在性命題;(2)數列的綜合性問題.
科目:高中數學 來源: 題型:解答題
成等差數列的三個正數的和等于15,并且這三個數分別加上2、5、13后成為等比數列中的
、
、
.
(1)求數列的通項公式;
(2)數列的前n項和為
,求證:數列
是等比數列.
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科目:高中數學 來源: 題型:解答題
已知數列為等差數列,其公差d不為0,
和
的等差中項為11,且
,令
,數列
的前n項和為
.
(1)求及
;
(2)是否存在正整數m,n(1<m<n),使得成等比數列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由.
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