設(shè)等差數(shù)列的公差為
,且
.若設(shè)
是從
開始的前
項數(shù)列的和,即
,
,如此下去,其中數(shù)列
是從第
開始到第
)項為止的數(shù)列的和,即
.
(1)若數(shù)列,試找出一組滿足條件的
,使得:
;
(2)試證明對于數(shù)列,一定可通過適當(dāng)?shù)膭澐郑顾玫臄?shù)列
中的各數(shù)都為平方數(shù);
(3)若等差數(shù)列中
.試探索該數(shù)列中是否存在無窮整數(shù)數(shù)列
,使得
為等比數(shù)列,如存在,就求出數(shù)列
;如不存在,則說明理由.
(1);(2)證明見解析;(3)不存在,證明見解析.
解析試題分析:(1)仔細(xì)閱讀題目,其實會發(fā)現(xiàn)第2小題已經(jīng)給我們指明了方向,從第一個數(shù)開始適當(dāng)劃分,使每段的和為平方數(shù),同時想辦法滿足,這樣既完成了第1小題,又可完成第2小題,從最簡單入手,
,
,因此思考是否可能有
呢?
,這樣第1小題完成;(2)這類問題實質(zhì)就是要我們作出一個符合條件的劃分,由(1)的分析,可知只要
,則所得劃分就是符合題意的,事實上,
,
,
是完全平方數(shù);(3)這類問題總是假設(shè)存在,然后推導(dǎo),能求出就說明存在,不能求出或推導(dǎo)出矛盾的結(jié)論就說明不存在,可以計算出
,數(shù)列
必定是公比
大于1的整數(shù)的等比數(shù)列,但事實上,
,從而要求
是完全平方數(shù),這是不可能的,故假設(shè)錯誤,本題結(jié)論是不存在.
試題解析:(1)則;(4分)
(2)記即
,又由
,
,所以第二段可取3個數(shù),
;再由
,即
,因此第三段可取9個數(shù),即
,依次下去, 一般地:
,
(6分)
所以,(8分)
(9分)
則.
由此得證.(11分)
(3)不存在.令,則
假設(shè)存在符合題意的等比數(shù)列, 則的公比必為大于
的整
數(shù),(,因此
,即
此時,注意到, (14分)
要使成立,則
必為完全平方數(shù),(16分)
但,矛盾.因此不存在符合題意的等差數(shù)列
.(18分)
考點:(1)構(gòu)造法解題;(2)存在性命題;(2)數(shù)列的綜合性問題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在等差數(shù)列中,
,公差為
,其前
項和為
,在等比數(shù)列
中,
,公比為
,且
,
.
(1)求與
;
(2)設(shè)數(shù)列滿足
,求
的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
成等差數(shù)列的三個正數(shù)的和等于15,并且這三個數(shù)分別加上2、5、13后成為等比數(shù)列中的
、
、
.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)數(shù)列的前n項和為
,求證:數(shù)列
是等比數(shù)列.
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設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為Sn,已知
,且
對一切
都成立.
(1)若λ=1,求數(shù)列的通項公式;
(2)求λ的值,使數(shù)列是等差數(shù)列.
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已知正項數(shù)列的前
項和為
,且
和
滿足:
.
(1)求的通項公式;
(2)設(shè),求
的前
項和
;
(3)在(2)的條件下,對任意,
都成立,求整數(shù)
的最大值.
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已知數(shù)列為等差數(shù)列,其公差d不為0,
和
的等差中項為11,且
,令
,數(shù)列
的前n項和為
.
(1)求及
;
(2)是否存在正整數(shù)m,n(1<m<n),使得成等比數(shù)列?若存在,求出所有的m,n的值;若不存在,請說明理由.
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已知是公比為
的等比數(shù)列,且
成等差數(shù)列.
⑴求的值;
⑵設(shè)是以
為首項,
為公差的等差數(shù)列,求
的前
項和
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知等差數(shù)列的首項為
,公差為
,數(shù)列
滿足
,
.
(1)求數(shù)列與
的通項公式;
(2)記,求數(shù)列
的前
項和
.
(注:表示
與
的最大值.)
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