【題目】如圖，已知多面體ABC﹣A1B1C1中，AA1，BB1，CC1均垂直于平面ABC，AB⊥AC，AA1＝4，CC1＝1，AB＝AC＝BB1＝2．

（Ⅰ）求證：A1C⊥平面ABC1；

（Ⅱ）求二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

【答案】（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，的坐標(biāo)，利用數(shù)量積來確定,，從而得證。

（Ⅱ）求得平面的一個(gè)法向量坐標(biāo)，再利用數(shù)量積求得平面的一個(gè)法向量坐標(biāo)，利用向量夾角公式即可求得二面角B﹣A1B1﹣C1的余弦值．

以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，.

（Ⅰ）證明：，，

∵ ，

，

所以,.

∵,

∴平面.

（Ⅱ）由題意可知，平面，平面，

∴

又∵，,

∴平面.

∴平面的一個(gè)法向量為.

∵，,

設(shè)平面的一個(gè)法向量為 ，

則，取,

所以平面的一個(gè)法向量為

∴.

顯然二面角為銳二面角,

∴二面角的余弦值為

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若對(duì)于曲線上任意點(diǎn)處的切線，總存在上處的切線，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是 (為參數(shù))，以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

(Ⅰ)求曲線的普通方程與直線的直角坐標(biāo)方程；

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【題目】已知不等式。

(1) 若對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x不等式恒成立，求m的取值范圍；

(2) 設(shè)不等式對(duì)于滿足的一切m的值都成立，求x的取值范圍。

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，若直線上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為__________．

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【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)E到點(diǎn)A與點(diǎn)B的直線斜率之積為，點(diǎn)E的軌跡為曲線C．

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（2）過點(diǎn)D作直線l與曲線C交于， 兩點(diǎn)，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖， ， 為中點(diǎn)，且平面， .已知.

（1）求直線與所成角；

（2）求二面角的余弦值.

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【題目】我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家，某市為了制定合理的節(jié)水方案，對(duì)居民用水情況進(jìn)行調(diào)查，通過抽樣，獲得某年100為居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）求直方圖的的值；

（2）設(shè)該市有30萬居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，說明理由.

（3）估計(jì)居民月用水量的中位數(shù).

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