Question

11．已知函數(shù)f（x）=2sin （2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其單調(diào)減區(qū)間；
（2）用“五點法”畫出函數(shù)g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的圖象（完成列表格并作圖），由圖象研究并寫出g（x）的對稱軸和對稱中心．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，求出f（x）的最小正周期與單調(diào)減區(qū)間；
（2）根據(jù)題意列出表格，根據(jù)表格畫出函數(shù)在x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的圖象，
結(jié)合圖象得出此函數(shù)沒有對稱軸，有一個對稱中心．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin （2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{2}$=π；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
則2kπ+$\frac{π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（2）根據(jù)題意列出表格得：

x	-$\frac{7π}{12}$	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π
y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）	0	-2	0	2	0

根據(jù)表格畫出函數(shù)g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的圖象如圖所示，

從圖象上可以直觀看出，此函數(shù)沒有對稱軸，有一個對稱中心，對稱中心是（-$\frac{π}{12}$，0）．

點評 本題考查了正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及五點法做正弦函數(shù)的圖象問題，是基礎(chǔ)題目．