7.若x,y∈R+,且x+y=5,則$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值是( 。
A.$3\sqrt{2}$B.$\frac{9}{2}$C.9D.$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$

分析 方法一:由x,y∈R+,則滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{y+\sqrt{3}≥0}\end{array}\right.$,根據(jù)柯西不等式可得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{x+1+y+3}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{9}$=3$\sqrt{2}$,當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{y+3}$,即x=$\frac{7}{2}$,y=$\frac{3}{2}$時(shí)等號(hào)成立,即可求得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值;
方法二:x,y∈R+,且x+y=5,y+3=8-x,Z=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{8-x}$,($\sqrt{x+1}$)2+($\sqrt{8-x}$)2=9,設(shè)$\sqrt{x+1}$=3sinα,$\sqrt{8-x}$=3cosα,(0≤α≤$\frac{π}{2}$),根據(jù)輔助角公式及正弦函數(shù)圖象及最值,即可求得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值.

解答 解:方法一:x,y∈R+,則滿足$\left\{\begin{array}{l}{x+1≥0}\\{y+\sqrt{3}≥0}\end{array}\right.$,
根據(jù)柯西不等式可得$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$≤$\sqrt{2}$•$\sqrt{x+1+y+3}$=$\sqrt{2}$•$\sqrt{9}$=3$\sqrt{2}$,
當(dāng)且僅當(dāng)$\sqrt{x+1}$=$\sqrt{y+3}$,即x=$\frac{7}{2}$,y=$\frac{3}{2}$時(shí)等號(hào)成立.
∴則$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值3$\sqrt{2}$,
故選A.
方法二:x,y∈R+,且x+y=5,
故y=5-x,
y+3=8-x,
則Z=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{8-x}$,
∵($\sqrt{x+1}$)2+($\sqrt{8-x}$)2=x+1+8-x=9,
∴設(shè)$\sqrt{x+1}$=3sinα,$\sqrt{8-x}$=3cosα,(0≤α≤$\frac{π}{2}$),
則Z=$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$=$\sqrt{x+1}$+$\sqrt{8-x}$=3sinα+3cosα=3$\sqrt{2}$sin(α+$\frac{π}{4}$),
故當(dāng)α+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$,即α=$\frac{π}{4}$時(shí),Z取最大值3$\sqrt{2}$,
則$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}$的最大值3$\sqrt{2}$,
故選A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查柯西不等式的應(yīng)用,考查正弦函數(shù)的圖象及性質(zhì),考查輔助角公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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