Question

【題目】在集合中，任取個(gè)元素構(gòu)成集合. 若的所有元素之和為偶數(shù)，則稱(chēng)為的偶子集，其個(gè)數(shù)記為；若的所有元素之和為奇數(shù)，則稱(chēng)為的奇子集，其個(gè)數(shù)記為. 令

(1)當(dāng) 時(shí)，求的值；

(2)求.

Answer 1

【答案】（1），，，（2）

【解析】

試題（1）第一小問(wèn)是具體理解及時(shí)定義：當(dāng)時(shí)，集合為，當(dāng)時(shí)，偶子集有，奇子集有，，；同理可得，，（2）從具體到一般，是歸納：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，偶子集的個(gè)數(shù)等于奇子集的個(gè)數(shù)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，偶子集的個(gè)數(shù)，奇子集的個(gè)數(shù)，

涉及兩個(gè)組合數(shù)相乘：構(gòu)造二項(xiàng)展開(kāi)式，比較對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)

試題解析：解（1）當(dāng)時(shí)，集合為，

當(dāng)時(shí)，偶子集有，奇子集有，，；

當(dāng)時(shí)，偶子集有，奇子集有，

，；

當(dāng)時(shí)，偶子集有，奇子集有，

，；

（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，偶子集的個(gè)數(shù)，

奇子集的個(gè)數(shù)，

所以．

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，偶子集的個(gè)數(shù)，

奇子集的個(gè)數(shù)，

所以

．

一方面，

所以中的系數(shù)為

；

另一方面，，中的系數(shù)為，

故．

綜上，