Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+3x．
（1）若x=3是f（x）的一個極值點，求f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值和最小值；
（2）若f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）先求導，再根據(jù)f′（3）=0，求得a=5，再根據(jù)導數(shù)求出函數(shù)極值，和端點值，求出最值即可．
（2）（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，得到f′（x）=3x²-2ax+3≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，分離參數(shù)得到a≤

3

2

（x+

1

x

）任意x∈[1，+∞）恒成立，求出最小值即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由題意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=3∈[2，5]，x=

1

3

 （舍去），
易知f（x）在區(qū)間[2，3]上單調(diào)遞減，在[3，5]上單調(diào)遞增，而f（2）=-6，f（5）=15，f（3）=-9
故f（x）在區(qū)間[2，a]上的最大值為15，最小值為-9；
（2）f（x）在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f′（x）=3x²-2ax+3≥0對任意x∈[1，+∞）恒成立，
∴a≤

3

2

（x+

1

x

）任意x∈[1，+∞）恒成立，
∵

3

2

（x+

1

x

）≥

3

2

•2=3，當且僅當x=1時等號成立
∴a≤3，
即實數(shù)a的取值范圍（-∞，3]．

點評：本題考查函數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系，通過函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)極值，考查轉(zhuǎn)化思想與計算能力．