Question

已知焦點(diǎn)在x軸上，對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓的離心率為

1

2

，且以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的兩焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂為頂點(diǎn)的三角形的周長為6，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）斜率為k直線l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，若-

18

7

≤

NA

•

NB

≤-

12

5

，求直線l斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）直接利用離心率為

1

2

，以及三角形的周長為6列出關(guān)于a，b，c的方程，求出a，b，c即可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先設(shè)直線l的方程為y=k（x-1），再把直線方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程聯(lián)立求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)與k之間的關(guān)系，代入-

18

7

≤

NA

•

NB

≤-

12

5

，整理后即可直線l斜率k的取值范圍．

解答：解：（1）設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
依題有2a+2c=6，即a+c=6，又因?yàn)?span id="v5nbpxx" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">e=

c

a

=

1

2

，
所以a=2，c=1，
∴b²=a²-c²=3，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+

y2

3

=1(a＞b＞0)
（2）設(shè)過點(diǎn)N（1，0）的斜率為k直線l的方程為y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx-k x2 4 + y2 3 =1

可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

4k2+3

∵

NA

•

NB

=(x1-1)(x2-1)+y1y2=(1+k2)(x1-1)(x2-1)
=（1+k²）[x₁•x₂-（x₁+x₂）+1]
=

-9(1+k2)

3+4k2

，
∴-

18

7

≤

-9(1+k2)

3+4k2

≤-

12

5

，得1≤k2≤3，
∴-

3

≤k≤-1或1≤k≤

3

點(diǎn)評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．在解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，韋達(dá)定理是一個必不可少的工具，比如本題的第二問．