【題目】已知, 分別是橢圓 )的左、右焦點,離心率為, , 分別是橢圓的上、下頂點,

(1)求橢圓的方程;

(2)過作直線交于 兩點,求三角形面積的最大值(是坐標原點).

【答案】(1);(2)

【解析】試題分析:(1)根據(jù)離心率為, ,列出關(guān)于 、 、的方程組,結(jié)合性質(zhì) ,求出 、,即可得橢圓的方程;(2)直線斜率存在,設(shè)其方程為.,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達定理,弦長公式、點到直線距離公式及三角形面積公式將角形面積用 表示,利用基本不等式 即可得結(jié)果.

試題解析:(1)由題知, , ,

,∴,①

,∴,∴,②

①②聯(lián)立解得 ,∴橢圓的方程為

(2)設(shè) ,顯然直線斜率存在,設(shè)其方程為,

代入,整理得

,即, , ,

所以的距離,

所以三角形面積 ,

設(shè),所以,

當且僅當,即,即,即時取等號,

所以面積的最大值為

【方法點晴】本題主要考查待定系數(shù)法求橢圓方程及圓錐曲線求最值,屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題,然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用均值不等式法求三角形最值的.

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【題目】對某電子元件進行壽命追蹤調(diào)查,情況如下.

壽命(h)

100~200

200~300

300~400

400~500

500~600

個 數(shù)

20

30

80

40

30


(1)列出頻率分布表;
(2)畫出頻率分布直方圖;
(3)估計元件壽命在100~400h以內(nèi)的在總體中占的比例.

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【題目】下列各函數(shù)在其定義域中,既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是(
A.y=x+1
B.y=﹣x3
C.y=﹣
D.y=x|x|

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【題目】已知函數(shù)f(x)=
(1)判斷并用定義證明函數(shù)的奇偶性;
(2)判斷并用定義證明函數(shù)在(﹣∞,0)上的單調(diào)性.

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【題目】已知橢圓 的左、右焦點分別為F1、F2 , 短軸兩個端點為A、B,且四邊形F1AF2B是邊長為2的正方形.

(1)求橢圓的方程;
(2)若C、D分別是橢圓長的左、右端點,動點M滿足MD⊥CD,連接CM,交橢圓于點P.證明: 為定值.
(3)在(2)的條件下,試問x軸上是否存異于點C的定點Q,使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點,若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

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【題目】某廠家舉行大型的促銷活動,經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為萬元時,銷售量萬件滿足(其中 為正常數(shù)),現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等,已知生產(chǎn)該產(chǎn)品萬件還需投入成本萬元(不含促銷費用),產(chǎn)品的銷售價格定為萬元/萬件.

(1)將該產(chǎn)品的利潤萬元表示為促銷費用萬元的函數(shù);

2)促銷費用投入多少萬元時,廠家的利潤最大.

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【題目】已知函數(shù).

(1)若時取到極值,求的值及的圖象在處的切線方程;

(2)若時恒成立,求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù).

(1)若曲線與曲線恰好相切于點,求實數(shù)的值;

(2)當時,恒成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)求證:. .

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【題目】近年來,我國許多省市霧霾天氣頻發(fā),為增強市民的環(huán)境保護意識,某市面向全市征召名義務(wù)宣傳志愿者,成立環(huán)境保護宣傳組織,現(xiàn)把該組織的成員按年齡分成組第,第,第,第,第,得到的頻率分布直方圖如圖所示,已知第組有人.

(1)求該組織的人數(shù);

(2)若在第組中用分層抽樣的方法抽取名志愿者參加某社區(qū)的宣傳活動,應(yīng)從第組各抽取多少名志愿者?

(3)在(2)的條件下,該組織決定在這名志愿者中隨機抽取名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗,求第組至少有名志愿者被抽中的概率.

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