【題目】已知函數(shù)的圖象為不間斷的曲線，定義域為，規(guī)定:

①如果對于任意，都有，則稱函數(shù)是凹函數(shù).

②如果對于任意，都有，則稱函數(shù)是凸函數(shù).

（1）若函數(shù)(且)是凹函數(shù)，試寫出實數(shù)的取值范圍;(直接寫出結(jié)果，無需證明)；

（2）判斷函數(shù)是凹函數(shù)還是凸函數(shù)，并加以證明；

（3）若對任意的且，，試證明存在，使.

【答案】（1）；（2）凸函數(shù)，證明見解析；（3）見解析.

【解析】

（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)，結(jié)合新定義，直接求解即可；

（2）利用作差比較法，根據(jù)新定義，直接判斷、證明即可；

（3）根據(jù)等式，構(gòu)造新函數(shù)，利用零點存在原理直接證明即可.

（1）由函數(shù)圖象可知：；

（2）因為，故，

所以，則函數(shù)是凸函數(shù).

（3）設，

因為

，

又因為，

所以，所以在區(qū)間上有零點，

即存在，使.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】中央政府為了應對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責成人社部進行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機調(diào)查100人，調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如下：

年齡

支持“延遲退休”的人數(shù)

15

5

15

28

17

（1）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；

45歲以下

45歲以上

總計

支持

不支持

總計

（2）若以45歲為分界點，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項活動.現(xiàn)從這8人中隨機抽2人

①抽到1人是45歲以下時，求抽到的另一人是45歲以上的概率.

②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學期望.

參考數(shù)據(jù)：

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

，其中

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在單位正方體中，點P在線段上運動，給出以下四個命題：

異面直線與間的距離為定值；

三棱錐的體積為定值；

異面直線與直線所成的角為定值；

二面角的大小為定值．

其中真命題有( )

A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過F的直線與拋物線的兩個交點，求證：

(1)y1y2＝－p2，；(2)為定值；

(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相切.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】銷售甲乙兩種商品所得利潤分別是(單位:萬元)和(單位:萬元)，它們與投入資金(單位:萬元)的關(guān)系有經(jīng)驗公式，.今將10萬元資金投入經(jīng)營甲乙兩種商品，其中對甲種商品投資(單位:萬元).

（1）試建立總利潤(單位:萬元)關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出定義域；

（2）如何投資經(jīng)營甲乙兩種商品，才能使得總利潤最大，并求出最大總利潤.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： 的焦點與橢圓： 的一個焦點重合，點在拋物線上，過焦點的直線交拋物線于、兩點.

（Ⅰ）求拋物線的方程以及的值；

（Ⅱ）記拋物線的準線與軸交于點，試問是否存在常數(shù)，使得且都成立？若存在，求出實數(shù)的值；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)在處取得極大值，求實數(shù)的取值范圍

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的焦距為，且C與y軸交于兩點．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)設P點是橢圓C上的一個動點且在y軸的右側(cè)，直線PA，PB與直線交于M，N兩點．若以MN為直徑的圓與x軸交于E，F(xiàn)兩點，求P點橫坐標的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的一段圖象如圖所示.

（1）求該函數(shù)的解析式；

（2）求該函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（3）該函數(shù)的圖象可由的圖象經(jīng)過怎樣的平移和伸縮變換得到的?

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