10.設(shè)拋物線x2=2y的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1,3)的直線l與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),且點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),則$|\overrightarrow{AF}|+|\overrightarrow{BF}|$=7.

分析 求出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程,過(guò)A、B、P 作準(zhǔn)線的垂線段,垂足分別為 M、N、R,利用拋物線的定義得到|AM|+|BN|=2|PR|,求得結(jié)果.

解答 解:拋物線 x2=2y的焦點(diǎn)為F(0,0.5),準(zhǔn)線方程為y=-0,5,
過(guò)A、B、P 作準(zhǔn)線的垂線段,
垂足分別為 M、N、R,
點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn),故|PR|是直角梯形AMNB的中位線,故|AM|+|BN|=2|PR|.
由拋物線的定義可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|3-(-0.5)|=7,
故答案為:7

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義得到|AM|+|BR|=2|PN|,是解題的關(guān)鍵.屬于中檔題.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

20.如圖,某小區(qū)準(zhǔn)備將閑置的一直角三角形地塊開發(fā)成公共綠地,圖中$∠B=\frac{π}{2},AB=a,BC=\sqrt{3}a$.設(shè)計(jì)時(shí)要求綠地部分(如圖中陰影部分所示)有公共綠地走道MN,且兩邊是兩個(gè)關(guān)于走道MN對(duì)稱的三角形(△AMN和△A'MN).現(xiàn)考慮方便和綠地最大化原則,要求點(diǎn)M與點(diǎn)A,B均不重合,A'落在邊BC上且不與端點(diǎn)B,C重合,設(shè)∠AMN=θ.
(1)若$θ=\frac{π}{3}$,求此時(shí)公共綠地的面積;
(2)為方便小區(qū)居民的行走,設(shè)計(jì)時(shí)要求AN,A'N的長(zhǎng)度最短,求此時(shí)綠地公共走道MN的長(zhǎng)度.

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1.已知函數(shù)f(x)=$\frac{1}{2}{x^2}$-a1nx+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在x=1處的切線的方程為3x-y-3=0,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(Ⅱ)若-2≤a<0,對(duì)任意x1,x2∈(0,2],不等式|f(x1)-f(x2)|≤m|$\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}$|恒成立,求實(shí)數(shù)m的最小值.

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18.已知拋物線 C:y=$\frac{1}{2}$x2,過(guò)不在y軸上的點(diǎn)P作C的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B.直線AB與y軸交于點(diǎn) M,直線PO(O為坐標(biāo)原點(diǎn))與AB交于點(diǎn)N,且PN⊥AB.
(Ⅰ)證明M是一個(gè)定點(diǎn);
(Ⅱ)求$\frac{|PN|}{|MN|}$的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題

5.設(shè)F1,F(xiàn)2是雙曲線C:$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的左右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn),若|MF1|=2|MF2|,|MF2|=|OF2|,則C的離心率是( 。
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15.在△ABC中,a,b,c分別是A,B,C的對(duì)邊,且$\frac{tanC}{tanB}=-\frac{c}{2a+c}$.
(I)求B;
(II)若b=2$\sqrt{3}$,a+c=4,求△ABC的面積.

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2.如圖,圓錐的軸截面為三角形SAB,O為底面圓圓心,C為底面圓周上一點(diǎn),D為BC的中點(diǎn).
(I)求證:平面SBC⊥平面SOD;
(II)如果∠AOC=∠SDO=60°,BC=2$\sqrt{3}$,求該圓錐的側(cè)面積.

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19.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,輸出的i=4.

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20.已知命題p:?x>0,總有(x+1)ex>1.則¬p為?x0>0,使得$({x_0}+1){e^{x_0}}≤1$.

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