Question

已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求的取值范圍．

Answer 1

（1）橢圓的方程是；（2）的取值范圍為．

試題分析：（1）求橢圓的方程，已知橢圓經(jīng)過點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為，故可用待定系數(shù)法，利用焦點(diǎn)為可得，利用過點(diǎn)，可得，再由，即可解出，從而得橢圓的方程；（2）求的取值范圍，由弦長公式可求得線段的長，因此可設(shè)，由得，，則是方程的兩根，有根與系數(shù)關(guān)系，得，，由弦長公式求得線段的長，求的長，需求出的坐標(biāo)，直線與軸交于點(diǎn)，可得，線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，故先求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，寫出線段的垂直平分線方程，令，既得點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得的長，這樣就得的取值范圍．
試題解析：（1）由題意得解得，．
所以橢圓的方程是．                    4分
（2）由得．
設(shè)，則有，，
．所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以線段的垂直平分線方程為．
于是，線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，又點(diǎn)，
所以．
又．
于是，．
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042615842418.png" style="vertical-align:middle;" />，所以．所以的取值范圍為．                  14分