Question

已知過(guò)點(diǎn)A（-1，0）的動(dòng)直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于點(diǎn)N，則下面運(yùn)算結(jié)果為定值的有
①②
③④．

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：根據(jù)已知條件，我們可以求出兩條直線的交點(diǎn)N的坐標(biāo)（含參數(shù)k），然后根據(jù)向量數(shù)量積公式，利用切割線定理判斷為定值，即可求出，，的值，進(jìn)而得到結(jié)論
解答：解：對(duì)于①，由題意，過(guò)A作AT與圓相切，切點(diǎn)為T(mén)，根據(jù)切割線定理可知=定值．①正確．
對(duì)于②，==不是定值，②不正確；
對(duì)于③，對(duì)于④，因?yàn)镃M⊥MN，
∴==+=，
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易得N（-1，-），
則 =（0，-），又=（1，3），
∴==-5，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
則由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（， ），
則 =（，），
∴===-5，
綜上，與直線l的斜率無(wú)關(guān)，且 =-5．③④正確．
正確的個(gè)數(shù)為3個(gè)．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：此題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，切割線定理的應(yīng)用，學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的條件，靈活運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求值，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡(jiǎn)求值，會(huì)利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問(wèn)題，是一道綜合題．