Question

2．為推行“新課改”教學(xué)法，某數(shù)學(xué)老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課改”兩種不同的教學(xué)方式，在甲、乙兩個(gè)平行班級進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn)，為了比較教學(xué)效果，期中考試后，分別從兩個(gè)班級中個(gè)隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表：記成績不低于105分者為“成績優(yōu)良”．

分?jǐn)?shù)	[0，90）	[90，105）	[105，1200）	[120，135）	[135，150）
甲班頻數(shù)	5	6	4	4	1
乙班頻數(shù)	1	3		6	5

（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有97.5%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)良”與教學(xué)方式有關(guān)？
（2）現(xiàn)從上述40人中，學(xué)校按成績是否優(yōu)良采用分層抽樣的方法抽取8人進(jìn)行考核，在這8人中，記成績不優(yōu)良的乙班人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

	甲班	乙班	總計(jì)
成績優(yōu)良
成績不優(yōu)良
總計(jì)

附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，（n=a+b+c+d）
臨界值表：

P（K2≥k0）	0.10	0.050	0.025	0.010
k0	2.706	3.841	5.024	6.635

Answer 1

分析 （1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算K²，對照臨界值得出結(jié)論；
（2）由題意知X的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（1）根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫2×2列聯(lián)表，如下；

	甲班	乙班	總計(jì)
成績優(yōu)良	9	16	25
成績不優(yōu)良	11	4	15
總計(jì)	20	20	40

根據(jù)列聯(lián)表，計(jì)算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$=$\frac{40{×（9×4-16×11）}^{2}}{25×15×20×20}$≈5.227＞5.024，
對照臨界值知，有97.5%的把握認(rèn)為“成績優(yōu)良”與教學(xué)方式有關(guān)；
（2）由表可知，8人中成績不優(yōu)良的人數(shù)為3，則X的可能取值為0、1、2、3，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{33}{91}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{11}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{44}{91}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{11}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{66}{455}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{15}^{3}}$=$\frac{4}{455}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{33}{91}$	$\frac{44}{91}$	$\frac{66}{455}$	$\frac{4}{255}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{33}{91}$+1×$\frac{44}{91}$+2×$\frac{66}{455}$+3×$\frac{4}{455}$=$\frac{364}{455}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題和離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望問題，是中檔題．