18.已知函數(shù)f(x)=lnx+$\frac{a}{x+1}$,a∈R
(1)當(dāng)a=2時,試比較f(x)與1的大。
(2)求證:ln(n+1)>$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$(n∈N*

分析 (1)通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值推出結(jié)果.
(2)由(1)可得lnx>$\frac{x-1}{x+1}$,令x=$\frac{n+1}{n}$,得到ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{1}{2n+1}$,分別取n=1,2,3,…,利用“累加求和”.即可證明.

解答 解:(1)當(dāng)a=2時,f(x)=lnx+$\frac{2}{x+1}$,其定義域為(0,+∞),
令h(x)=f(x)-1=lnx+$\frac{2}{x+1}$-1,
∴h′(x)=$\frac{1}{x}$-$\frac{2}{(x+1)^{2}}$=$\frac{{x}^{2}+1}{x(x+1)^{2}}$,
∴h(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
①當(dāng)x>1時,h(x)>h(1)=0,即f(x)>1,
②當(dāng)0<x<1時,h(x)<h(1)=0,即f(x)<1,
③當(dāng)x=1時,h(x)=h(1)=0,即f(x)=1,
(2)由(1)可得,當(dāng)x>1時,f(x)>1,
即lnx+$\frac{2}{x+1}$>1,
即lnx>$\frac{x-1}{x+1}$,
令x=$\frac{n+1}{n}$,
則ln$\frac{n+1}{n}$>$\frac{\frac{n+1}{n}-1}{\frac{n+1}{n}+1}$=$\frac{1}{2n+1}$,
∴l(xiāng)n2>$\frac{1}{3}$,ln$\frac{3}{2}$>$\frac{1}{5}$,
∴l(xiāng)n2+ln$\frac{3}{2}$+…+ln$\frac{n+1}{n}$=ln(n+1)>$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{7}$+…+$\frac{1}{2n+1}$,
問題得以證明.

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法,考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論證明不等式的方法,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題

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