Question

9．某學(xué)校餐廳每天供應(yīng)500名學(xué)生用餐，每星期一有A，B兩種菜可供選擇．調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A種菜的學(xué)生，下星期一會(huì)有20%改選B種菜；而選B種菜的學(xué)生，下星期一會(huì)有30%改選A種菜，用a_n，b_n分別表示在第n個(gè)星期的星期一選A種菜和選B種菜的學(xué)生人數(shù)，若a₁=300，則：
（1）求a₂的值；
（2）判斷數(shù)列{a_n-300}是否常數(shù)數(shù)列，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由a₁=300，得b₁=500-300=200，由此能求出a₂．
（2）依題意$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+1}}=\frac{4}{5}{a_n}+\frac{3}{10}{b_n}}\\{{a_n}+{b_n}=500}\end{array}}\right.$，從而${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+150$，由此能推導(dǎo)出數(shù)列{a_n-300}為常數(shù)數(shù)列．

解答 解：（1）∵a₁=300，∴b₁=500-300=200，
∴a₂=300×0.8+200×0.3=300．
（2）依題意得，$\left\{{\begin{array}{l}{{a_{n+1}}=\frac{4}{5}{a_n}+\frac{3}{10}{b_n}}\\{{a_n}+{b_n}=500}\end{array}}\right.$，
消去b_n得：${a_{n+1}}=\frac{1}{2}{a_n}+150$，
∴${a_{n+1}}-300=\frac{1}{2}（{{a_n}-300}），n∈{N_+}，{a_1}=300$，
從而a_n=300．
∴數(shù)列{a_n-300}為常數(shù)數(shù)列．

點(diǎn)評(píng) 本題考查第二項(xiàng)的求法，考查數(shù)列是否為常數(shù)數(shù)列的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，尋找數(shù)量間的等量關(guān)系．