Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，對(duì)任意的都有，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，方程的所有根之和為_____．

Answer 1

【答案】4

【解析】

根據(jù)題意，得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，進(jìn)而得是以為周期的函數(shù)，再得其單調(diào)性，再分段探究方程的根的情況，即可得到結(jié)論.

由，得函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，又因?yàn)?/span>是奇函數(shù)，則有，從而有，

所以是以4為周期的函數(shù)，

由周期性知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱．

由題意，在上單調(diào)遞增，其值域?yàn)?/span>，此時(shí)方程無解，

由對(duì)稱性知在上單調(diào)遞減，其值域?yàn)?/span>，此時(shí)方程也無解，

由函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱知，方程在和上各有一根，由對(duì)稱性知兩根之和為．

由周期性知方程在和上各有一根，由對(duì)稱性知兩根之和為6．在區(qū)間上無解．所以在上共有4個(gè)根，其和為4．

故答案為：.