13.已知橢圓的焦點(diǎn)F1(0,-1),F(xiàn)2(0,1),P為橢圓上一動(dòng)點(diǎn),且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng),則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( 。
A.$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1B.$\frac{{x}^{2}}{3}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1C.x2+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1D.$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1

分析 設(shè)橢圓方程:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),c=1,根據(jù)|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng),可得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,且|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,就可求出a,b的值,再判斷焦點(diǎn)所在坐標(biāo)軸,就可得到橢圓方程.

解答 解:橢圓的焦點(diǎn)F1(0,-1),F(xiàn)2(0,1),橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)橢圓方程:$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$(a>b>0),c=1,
∵|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng),
∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,
∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|
又∵|F1F2|=2c,|PF1|+|PF2|=2a,∴4c=2a,a=2c
∴a=2,b2=a2-c2=3,
又∵橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$.
故選B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì),考查等差數(shù)列的性質(zhì),考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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