Question

9．某艦艇在A處測(cè)得遇險(xiǎn)漁船在北偏東45°方向上的C處，且到A的距離為10海里，此時(shí)得知，該漁船沿南偏東75°方向，以每小時(shí)9海里的速度向一小島靠近，艦艇的速度為21海里/小時(shí)，則艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是$\frac{2}{3}$小時(shí)．

Answer 1

分析 設(shè)兩船在B點(diǎn)相遇，設(shè)艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是x小時(shí)，由題設(shè)知AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，由余弦定理，知（21x）²=100+（9x）²-2×10×9x×cos120°，由此能求出艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間．

解答 解：設(shè)兩船在B點(diǎn)相遇，由題設(shè)作出圖形，
設(shè)艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是x小時(shí)，
則AC=10，AB=21x，BC=9x，∠ACB=120°，
由余弦定理，知（21x）²=100+（9x）²-2×10×9x×cos120°，
整理，得36x²-9x-10=0，
解得x=$\frac{2}{3}$，或x=-$\frac{5}{12}$（舍）．
答：艦艇到達(dá)漁船的最短時(shí)間是$\frac{2}{3}$小時(shí)．
故答案為：$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解三角形在生產(chǎn)實(shí)際中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．解題時(shí)要注意余弦定理和數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用．