Question

已知數(shù)列{a_n}滿足，記．
（1）求a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆．；
（2）證明S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；
（3）求S_n，并證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)數(shù)列各項(xiàng)的定義求出各項(xiàng)的值是解決本題的關(guān)鍵，注意分段函數(shù)給出數(shù)列通項(xiàng)公式的理解和認(rèn)識(shí)；
（2）利用數(shù)列各項(xiàng)的值給出數(shù)列求和的方法，注意分組求和方法的運(yùn)用，探究出數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足的關(guān)系式達(dá)到證明該題的目的；
（3）根據(jù)（2）中得到的數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足的遞推關(guān)系式探求出前n項(xiàng)和的公式是解決本題的關(guān)鍵，利用放縮法達(dá)到證明該題的目的．
解答：解：（1）a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=a₁+a₁+a₃+a₂+a₅+a₃=a₁+a₁+2a₃+a₁+a₅=3a₁+2a₃+a₅=3×1+2×3+5=14．
（2）
=
=
=
=．
（3）由（2）可知S_n=4^n-1+S_n-1（n≥2）；即S_n^-S_n-1=4^n-1（n≥2）；從而
S_n=（S_n^-S_n-1）+（S_{n-1 ^-}S_n-2）+（S_n-2^-S_n-3）+…+（S_2^-S₁）+S_1⁼4^n-1+4^n-2₊4^n-3+…+4+2=，
所以，故．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的認(rèn)識(shí)和理解，考查數(shù)列求通項(xiàng)和求和的方法，考查數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)的方法，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸的思想，分組求和的思想，放縮轉(zhuǎn)化通項(xiàng)的方法實(shí)現(xiàn)不等式證明的解決．