Question

在數列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，
（1）設b_n=2ⁿa_n，證明：數列{b_n}是等差數列；
（2）求{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等差關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由已知得

an+1

( 1 2 )n+1

=

an

( 1 2 )n

+1，從而a_n=n（

1

2

）ⁿ，b_n=2ⁿa_n=n，由此能證明數列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
（2）由a_n=n（

1

2

）ⁿ，利用錯位相減法能求出{a_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（1）∵在數列{a_n}中，a₁=

1

2

，a_n+1=

1

2

a_n+（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴

an+1

( 1 2 )n+1

=

an

( 1 2 )n

+1，
又

a1

1 2

=

1 2

1 2

=1，
∴{

an

( 1 2 )n

}是首項為1，公差為1的等差數列，
∴

an

( 1 2 )n

=n，∴a_n=n（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=2ⁿa_n=n，
∴數列{b_n}是首項為1，公差為1的等差數列．
（2）∵a_n=n（

1

2

）ⁿ，
∴S_n=

1

2

+2×（

1

2

）²+3×（

1

2

）³+…+n×（

1

2

）ⁿ，①

1

2

Sn=(

1

2

)2+2×(

1

2

)3+3×(

1

2

)4+…+n×(

1

2

)n+1，②
①-②，得：

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n-n×(

1

2

)n+1
=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-n×(

1

2

)n+1
=1-

1

2n

-n×（

1

2

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=2-（n+2）×(

1

2

)n．

點評：本題考查等差數列的證明，考查數列的前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．