Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x+

a2

x

+5，則當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

 

；又若對(duì)一切x＞0，不等式f（x）≥a+1恒成立，則a的取值范圍是

 

．（用區(qū)間或集合表示）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，即可求出x＞0時(shí)的表達(dá)式，根據(jù)基本不等式的解法即可求出a的取值范圍．

解答： 解：若x＞0，則-x＜0，
∵當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=x+

a2

x

+5，
∴f（-x）=-x-

a2

x

+5，
∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，
∴f（-x）=-x-

a2

x

+5=-f（x），
∴f（x）=x+

a2

x

-5，（x＞0）．
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x+

a2

x

-5≥2

x• a2 x

-5=2|a|-5，
若對(duì)一切x＞0，不等式f（x）≥a+1恒成立，
則2|a|-5≥a+1，
若a≥0，不等式等價(jià)為2a-5≥a+1，
解得a≥6，
若a＜0，不等式等價(jià)為-2a-5≥a+1，
解得a≤-2，
綜上a的取值范圍是（-∞，-2]∪[6，+∞），
故答案為：x+

a2

x

-5，（-∞，-2]∪[6，+∞），

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，利用基本不等式的解法是解決本題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的計(jì)算能力．