已知F是橢圓的左焦點(diǎn),A是橢圓短軸上的一個(gè)頂點(diǎn),橢圓的離心率為,點(diǎn)B在x軸上,AB⊥AF,A,B,F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓C恰好與直線相切.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在過(guò)F作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),P為線段MN的中點(diǎn),設(shè)O為橢圓中心,射線OP交橢圓于點(diǎn)Q,若,若存在求k的值,若不存在則說(shuō)明理由.
【答案】分析:(Ⅰ)先確定出F,A的坐標(biāo),進(jìn)而確定點(diǎn)B的坐標(biāo),從而可確定A,B,F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓的圓心坐標(biāo)與半徑,利用圓與直線相切,即可求橢圓的方程;
(Ⅱ)假設(shè)存在,設(shè)直線l的方程為:y=k(x+1)代入橢圓的方程,根據(jù)P為線段MN的中點(diǎn),確定P的坐標(biāo),進(jìn)而可得Q的坐標(biāo),代入橢圓方程,即可判斷k不存在.
解答:解:(Ⅰ)∵橢圓的離心率為,∴,∴
,
∵AB⊥AF,∴
∴AB的方程為:
令y=0,∴,∴
∴A,B,F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓的圓心坐標(biāo)為,半徑為r=a
∴圓心到直線的距離為,
∵A,B,F(xiàn)三點(diǎn)確定的圓C恰好與直線相切.

∴a=2,∴
∴橢圓的方程為;
(Ⅱ)假設(shè)存在,設(shè)直線l的方程為:y=k(x+1)代入橢圓的方程,消去y可得
(3+4k2)x2+8k2x+(4k2-12)=0
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x,y),則,
∵P為線段MN的中點(diǎn),∴

,∴

∵射線OP交橢圓于點(diǎn)Q


∴64k4+48k2=4(16k4+24k2+9)
∴48k2=96k2+36
∴-48k2=36
此方程無(wú)解,∴k不存在.
點(diǎn)評(píng):本題考查圓與圓錐曲線的綜合,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查直線與圓相切,考查代入法的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是確立動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,有綜合性.
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(Ⅰ)求橢圓的方程;

(Ⅱ)設(shè)O為橢圓的中心,是否存在過(guò)F點(diǎn),斜率為k(k∈R,l≠0)且交橢圓于M、N兩點(diǎn)的直線,當(dāng)從O點(diǎn)引出射線經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)P,交橢圓于點(diǎn)Q時(shí),有成立.如果存在,則求k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)是否存在過(guò)F作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓于M,N兩點(diǎn),P為線段MN的中點(diǎn),設(shè)O為橢圓中心,射線OP交橢圓于點(diǎn)Q,若,若存在求k的值,若不存在則說(shuō)明理由.

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(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)O為橢圓的中心,過(guò)F點(diǎn)作直線交橢圓于M、N兩點(diǎn),在橢圓上是否存在點(diǎn)T,使得,如果存在,則求點(diǎn)T的坐標(biāo);如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)設(shè)O為橢圓的中心,是否存在過(guò)F點(diǎn),斜率為k(k∈R,l≠0)且交橢圓于M、N兩點(diǎn)的直線,當(dāng)從O點(diǎn)引出射線經(jīng)過(guò)MN的中點(diǎn)P,交橢圓于點(diǎn)Q時(shí),有成立.如果存在,則求k的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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