Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|z+1|=|z-1|，且z+

1

z

∈R．
（1）求復(fù)數(shù)z；
（2）請寫出一個以z為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件即可得出；
（2）x²+1=0，滿足條件．

解答： 解：（1）設(shè)z=a+bi（a，b∈R），∵復(fù)數(shù)z滿足|z+1|=|z-1|，且z+

1

z

∈R．
∴

(a+1)2+b2

=

(a-1)2+b2

，a+bi+

1

a+bi

=a+bi+

a-bi

a2+b2

，即

b(a2+b2)-b

a2+b2

=0，
聯(lián)立解得a=0，b=±1．
∴z=±i．
（2）x²+1=0，其根為：x=±i．

點(diǎn)評：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)為實(shí)數(shù)的充要條件，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．