Question

5．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線為等邊三角形OAB的邊OA，OB所在直線，直線AB過雙曲線的焦點，且|AB|=2，則a=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 由等邊三角形和雙曲線的對稱性，可得，∠OAF=30°，再由漸近線方程，可得b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，再由a，b，c的關系和c的值，即可計算得到a．

解答 解：由于△OAB（O為坐標原點）是等邊三角形，
則由對稱可得，∠OAF=30°，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即有tan30°=$\frac{a}$，即b=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
又c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a=$\sqrt{3}$，
則a=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查雙曲線方程和性質，考查雙曲線的漸近線方程和離心率的求法，屬于基礎題．