Question

若a＞0，b＞0，a³+b³=2，求證：a+b≤2，ab≤1。

Answer 1

證明略

證法一：因a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以
(a+b)³－2³=a³+b³+3a²b+3ab²－8=3a²b+3ab²－6
=3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a³+b³)］=－3(a+b)(a－b)²≤0。 
即(a+b)³≤2³，又a+b＞0，所以a+b≤2，因?yàn)?≤a+b≤2，
所以ab≤1 
證法二：設(shè)a、b為方程x²－mx+n=0的兩根，則，
因?yàn)?i>a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m²－4n≥0           ①
因?yàn)?=a³+b³=(a+b)(a²－ab+b²)=(a+b)［(a+b)²－3ab］=m(m²－3n)
所以n=                                           ②
將②代入①得m²－4()≥0，
即≥0，所以－m³+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，
由2≥m得4≥m²，又m²≥4n，所以4≥4n，
即n≤1，所以ab≤1 
證法三：因a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以
2=a³+b³=(a+b)(a²+b²－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)
于是有6≥3ab(a+b)，
從而8≥3ab(a+b)+2=3a²b+3ab²+a³+b³=(a+b)³，所以a+b≤2，(下略）
證法四：因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823123723776599.gif" style="vertical-align:middle;" />
≥0，
所以對(duì)任意非負(fù)實(shí)數(shù)a、b，有≥
因?yàn)?i>a＞0，b＞0，a³+b³=2，所以1=≥，
∴≤1，即a+b≤2，(以下略）
證法五：假設(shè)a+b＞2，則
a³+b³=(a+b)(a²－ab+b²)=(a+b)［(a+b)²－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，
又a³+b³=(a+b)［a²－ab+b²］=(a+b)［(a+b)²－3ab］＞2(2²－3ab)
因?yàn)?i>a³+b³=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，
故a+b≤2(以下略)。