Question

4．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+x，若當(dāng)$0≤θ≤\frac{π}{2}$時(shí)，f（msinθ）+f（sinθ-cos²θ+2）＞0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-3，+∞）
• B． （-1，+∞）
• C． （-∞，-3）
• D． （-∞，-1）

Answer 1

分析 由f（-x）=-f（x）可知f（x）=x³+x為奇函數(shù)，利用f′（x）=3x²+1＞0，可知f（x）=x³+x為R上的增函數(shù)，于是f（msinθ）+f（sinθ-cos²θ+2）＞0?msinθ＞cos²θ-sinθ-2=-sin²θ-sinθ-1，整理可得-m＜sinθ+$\frac{1}{sinθ}$+1，令t=sinθ（0＜t≤1），構(gòu)造函數(shù)g（t）=t+$\frac{1}{t}$+1，則-m＜g（t）_min，由g（t）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞減，可求得g（1）=3，于是可得答案．

解答 解：∵f（-x）=（-x）³-x=-x³-x=-（x³+x）=-f（x），
∴f（x）=x³+x為奇函數(shù)，
又f′（x）=3x²+1＞0，
∴f（x）=x³+x為R上的增函數(shù)，
∵f（msinθ）+f（sinθ-cos²θ+2）＞0，
∴f（msinθ）＞-f（sinθ-cos²θ+2）=f（cos²θ-sinθ-2），
∴msinθ＞cos²θ-sinθ-2=-sin²θ-sinθ-1，
∵$0≤θ≤\frac{π}{2}$，
∴當(dāng)θ=0時(shí)，0＞-1恒成立；
當(dāng)θ∈（0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，0＜sinθ≤1，
∴m＞-sinθ-$\frac{1}{sinθ}$-1，即-m＜sinθ+$\frac{1}{sinθ}$+1，令t=sinθ（0＜t≤1），
g（t）=t+$\frac{1}{t}$+1在（0，1]上單調(diào)遞減，
∴-m＜g（1）=3，
∴m＞-3．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)恒成立問(wèn)題，突出考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，考查分離參數(shù)法、構(gòu)造法、導(dǎo)數(shù)法的綜合運(yùn)用，屬于中檔題．