Question

已知函數(shù)f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）作出函數(shù)f（x）的圖象；
（3）根據(jù)圖象指出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（4）若方程f（x）=a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)圖象的作法,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）直接解方程f（4）=0即可
（2）將絕對(duì)值去掉化為分段函數(shù)，再根據(jù)分段函數(shù)作圖象
（3）根據(jù)圖象即可求出單調(diào)區(qū)間
（4）根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合易得交點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解答： 解：（1）∵f（x）=x|m-x|（x∈R），且f（4）=0，4|m-4|=0，∴m=4．
（2），由（1）可知，f（x）=x|4-x|=

-x2+4x x＜4 x2-4x x≥4

，故函數(shù)圖如下：


函數(shù)的遞增區(qū)間為：（-∞，2），（4，+∞）；遞減區(qū)間為：[2，4]．

（3）∵f（2）=2，∴方程f（x）=a只有一個(gè)實(shí)數(shù)根?方程組

y=f(x) y=a

只有一組解
?函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=a只有一個(gè)交點(diǎn)
?a∈（-∞，0）∪（2，+∞）
故a的取值范圍（-∞，0）∪（2，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查含有絕對(duì)值的函數(shù)圖象畫法，以及根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合討論函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．