Question

曲線y=

1-(x-2)2

與直線y+2=k（x+1）有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，求k的范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專題：直線與圓

分析：將曲線方程化簡(jiǎn)，可得曲線表示以C（2，0）為圓心、半徑r=1的圓的上半圓．再將直線方程化為點(diǎn)斜式，可得直線經(jīng)過定點(diǎn)A（-1，-2）且斜率為k．作出示意圖，設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點(diǎn)為B（1，0），當(dāng)直線的斜率k小于AD的斜率且大于或等于AB的斜率時(shí)，直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)．由此利用直線的斜率公式與點(diǎn)到直線的距離公式加以計(jì)算，可得實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：化簡(jiǎn)曲線y=

1-(x-2)2

，得（x-2）²+y²=1（y≥0）．
∴曲線表示以C（2，0）為圓心，半徑r=1的圓的上半圓．
∵直線y+2=k（x+1）
∴直線經(jīng)過定點(diǎn)A（-1，-2），且斜率為k．
又∵曲線y=

1-(x-2)2

與直線y+2=k（x+1）有兩個(gè)相異的交點(diǎn)，
∴設(shè)直線與半圓的切線為AD，半圓的左端點(diǎn)為B（1，0），
當(dāng)直線的斜率k小于AD的斜率且大于或等于AB的斜率時(shí)，
直線與半圓有兩個(gè)相異的交點(diǎn)．
由點(diǎn)到直線kx-y-2+k=0的距離公式，當(dāng)直線與半圓相切時(shí)滿足

|3k-2|

k2+1

=1，
解之得k=

3+ 3

4

，即k_AD=

3+ 3

4

．
又∵直線AB的斜率k_AB=

0+2

1+1

=1，
∴直線的斜率k的范圍為k∈[1，

3+ 3

4

）．

點(diǎn)評(píng)：本題給出直線與半圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求直線的斜率k的取值范圍．著重考查了直線的方程、圓的方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．