Question

8．已知a∈R，函數(shù)f（x）=x|x-a|-2x+a²．
（Ⅰ）若a＞2，解關(guān)于x的方程f（x）=a²-2a；
（Ⅱ）若a∈[-2，4]，求函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[-3，3]上的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若a＞2，根據(jù)絕對值的性質(zhì)直接解關(guān)于x的方程f（x）=a²-2a即可；
（Ⅱ）若a∈[-2，4]，根據(jù)a的取值范圍將函數(shù)f（x）表示成分段函數(shù)形式，結(jié)合一元二次函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=a²-2a得x|x-a|-2x+a²=a²-2a，即x|x-a|=2（x-a），
則x=a是方程的根，
①當x＞a時，x=2，∵a＞2，∴此時方程無解，
②當x＜a時，x=-2為方程的解，綜上x=a或x=-2．
（Ⅱ）f（x）=x|x-a|-2x+a²=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-（a+2）x+{a}^{2}}&{x≥a}\\{-{x}^{2}+（a-2）x+{a}^{2}}&{x＜a}\end{array}\right.$，
①若-2≤a≤2時，$\frac{a}{2}-1$≤a，$\frac{a}{2}$+1≥a，
則f（x）_min=min{f（-3），f（$\frac{a}{2}$+1）}=min{a²-3a-3，$\frac{1}{4}$（3a²-4a-4）}=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}^{2}-4a-4}{4}}&{-2≤a＜4-2\sqrt{6}}\\{{a}^{2}-3a-3}&{4-2\sqrt{6}≤a≤2}\end{array}\right.$．
②若2＜a≤4時，$\frac{a}{2}-1$≤a，$\frac{a}{2}$+1＜a，
則f（x）_min=min{f（-3），f（a）}=min{a²-3a-3，a²-2a}=a²-3a-3．

綜上f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3{a}^{2}-4a-4}{4}}&{-2≤a＜4-2\sqrt{6}}\\{{a}^{2}-3a-3}&{4-2\sqrt{6}≤a≤4}\end{array}\right.$．

點評 本題主要考查分段函數(shù)和絕對值函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)形式，利用一元二次函數(shù)的單調(diào)性和最值之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．