Question

 某產(chǎn)品按質(zhì)量分為10個檔次,生產(chǎn)第一檔(即最低檔次)的利潤是每件8元,每提高一個檔次,利潤每件增加2元,但在相同的時間內(nèi)產(chǎn)量減少3件.在相同的時間內(nèi),最低檔的產(chǎn)品可生產(chǎn)60件.問在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第幾檔次的產(chǎn)品的總利潤最大?有多少元?

Answer 1

在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤最大,最大利潤為864元.

解析:

思路分析:在一定條件下,“利潤最大”“用料最省”“面積最大”“效率最高”“強(qiáng)度最大”等問題,在生產(chǎn)、生活中經(jīng)常用到,在數(shù)學(xué)上這類問題往往歸結(jié)為求函數(shù)的最值問題.除了常見的求最值的方法外,還可用求導(dǎo)法求函數(shù)的最值.但無論采取何種方法都必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行.

解法一:設(shè)相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第x(x∈N^*,1≤x≤10)檔次的產(chǎn)品利潤y最大.      2分

依題意,得y=［8+2(x－1)］［60－3(x－1)］                              4分

=－6x²+108x+378=－6(x－9)²+864(1≤x≤10),                                8分

顯然,當(dāng)x=9時,y_max=864(元),

即在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品的總利潤最大,最大利潤為864元.       10分

解法二:由上面解法得到y=－6x²+108x+378.

求導(dǎo)數(shù),得y′=－12x+108,令y′=－12x+108=0,

解得x=9.因x=9∈［1,10］,y只有一個極值點(diǎn),所以它是最值點(diǎn),即在相同的時間內(nèi),生產(chǎn)第9檔次的產(chǎn)品利潤最大,最大利潤為864元.

【名師指引】一般情況下,對于實(shí)際生活中的優(yōu)化問題,如果其目標(biāo)函數(shù)為高次多項(xiàng)式函數(shù)、簡單的分式函數(shù)簡單的無理函數(shù)、簡單的指數(shù)、對數(shù)函數(shù),或它們的復(fù)合函數(shù),均可用導(dǎo)數(shù)法求其最值.由此也可見,導(dǎo)數(shù)的引入,大大拓寬了中學(xué)數(shù)學(xué)知識在實(shí)際優(yōu)化問題中的應(yīng)用空間.