Question

19．（1）偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，求滿足f（2x-1）＞f（3）的x的取值范圍
（2）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=log₂（x+1）．解關(guān)于x的不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，可知f（x）=f（|x|），將不等式f（2x-1）＞f（3）轉(zhuǎn)化為：f（|2x-1|）＞f（3），再運(yùn)用f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，去掉“f”，列出關(guān)于x的不等式，求解即可得到x的取值范圍．
（2）由題意可得 f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（-1）=1，由不等式f（x）＞1，可得x的范圍．

解答 解：∵f（x）為偶函數(shù)，∴f（x）=f（|x|），
∴f（2x-1）=f（|2x-1|），
則不等式f（2x-1）＞f（3）轉(zhuǎn)化為：f（|2x-1|）＞f（3），
∵偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上為單調(diào)遞減，
∴|2x-1|＜3，解得-1＜x＜2，
則不等式的解集是：（-1，2）；
（2）∵f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f（1）=1，
∴f（x）在在（-∞，0）上單調(diào)遞減，且f（-1）=1，
∵關(guān)于x的不等式f（x）＞1，∴x＜-1，或x＞1，
故原不等式的解集為{x|x＞1，或x＜-1}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解不等式，解題的關(guān)鍵是將不等式進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，然后利用單調(diào)性去掉“f”．屬于中檔題．