Question

已知雙曲線C：x²-

y2

2

=1，過點A（3，0）作直線l與C交于P、Q兩點，若PQ的長等于雙曲線C的實軸長的4倍，求l的傾斜角．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線l的方程為：my=x-3，聯(lián)立

my=x-3 2x2-y2=2

，化為（2m²-1）y²+12my+16=0，利用|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=8a即可解出．

解答： 解：設(shè)直線l的方程為：my=x-3，聯(lián)立

my=x-3 2x2-y2=2

，
化為（2m²-1）y²+12my+16=0，
y₁+y₂=

-12m

2m2-1

，y₁y₂=

16

2m2-1

．
∴|PQ|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[( -12m 2m2-1 )2- 64 2m2-1 ]

=4×2．
化為4m⁴-5m²=0，解得m=0或m=±

5

2

．
m=0時，直線l的傾斜角為

π

2

．
m=±

5

2

時，設(shè)直線l的傾斜角為α，則tanα=±

2 5

5

，∴α=arctan

2 5

5

或π-arctan

2 5

5

．
∴直線l的傾斜角為

π

2

，α=arctan

2 5

5

或π-arctan

2 5

5

．

點評：本題考查了直線與雙曲線相交的弦長問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、利用根與系數(shù)的關(guān)系可得弦長、斜率與傾斜角的關(guān)系，考查了計算能力，屬于中檔題．