【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為,對(duì)任意,點(diǎn)都在函數(shù) 的圖象上.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若數(shù)列,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)已知數(shù)列滿足,若對(duì)任意,存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1);(2) ;(3).
【解析】
(1)將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到,令,由可求出的值,令,由得,兩式相減得出數(shù)列為等比數(shù)列,確定該數(shù)列的公比,利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,利用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)利用分組求和法與裂項(xiàng)法求出數(shù)列的前項(xiàng)和,由題意得出,判斷出數(shù)列各項(xiàng)的符號(hào),得出數(shù)列的最大值為,利用函數(shù)的單調(diào)性得出該函數(shù)在區(qū)間上的最大值為,然后解不等式可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
(1)將點(diǎn)代入函數(shù)的解析式得到.
當(dāng)時(shí),,即,解得;
當(dāng)時(shí),由得,
上述兩式相減得,得,即.
所以,數(shù)列是以為首項(xiàng),以為公比的等比數(shù)列,因此,;
(2),,
因此,①
,②
由①②得,
所以;
(3).
令為的前項(xiàng)和,
則.
因?yàn)?/span>,,,,
當(dāng)時(shí),,
令,,
令,則,
當(dāng)時(shí),,此時(shí),數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列,,
則,即,
那么當(dāng)時(shí),數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列,此時(shí),則.
因此,數(shù)列的最大值為.
又,函數(shù)單調(diào)遞增,
此時(shí),函數(shù)的最大值為.
因?yàn)閷?duì)任意的,存在,.
所以,解得,因此,實(shí)數(shù)的取值范圍是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)在(1)的條件下,求證:;
(3)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)
已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)),C在點(diǎn)(1,1)處的切線為l,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則l的極坐標(biāo)方程為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中.
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的極值;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),證明:函數(shù)不可能存在兩個(gè)零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD與正三角形BCE的邊長均為2,且平面ABCD⊥平面BCE,平面ABCD,.
(I)求證:平面ABCD;
(II)求證:平面ACF⊥平面BDF.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)某種書籍每冊(cè)的成本費(fèi)(元)與印刷冊(cè)數(shù)(千冊(cè))的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.
4.83 | 4.22 | 0.3775 | 60.17 | 0.60 | -39.38 | 4.8 |
表中,.
為了預(yù)測印刷20千冊(cè)時(shí)每冊(cè)的成本費(fèi),建立了兩個(gè)回歸模型:,.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖,你認(rèn)為選擇哪個(gè)模型預(yù)測更可靠?(只選出模型即可)
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)和(1)中選擇的模型,求關(guān)于的回歸方程,并預(yù)測印刷20千冊(cè)時(shí)每冊(cè)的成本費(fèi).
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸方程的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為:,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某大學(xué)餐飲中心為了了解新生的飲食習(xí)慣,在某學(xué)院大一年級(jí)名學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,發(fā)現(xiàn)喜歡甜品的占.這名學(xué)生中南方學(xué)生共人。南方學(xué)生中有人不喜歡甜品.
(1)完成下列列聯(lián)表:
喜歡甜品 | 不喜歡甜品 | 合計(jì) | |
南方學(xué)生 | |||
北方學(xué)生 | |||
合計(jì) |
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),問是否有的把握認(rèn)為“南方學(xué)生和北方學(xué)生在選用甜品的飲食習(xí)慣方面有差異”;
(3)已知在被調(diào)查的南方學(xué)生中有名數(shù)學(xué)系的學(xué)生,其中名不喜歡甜品;有名物理系的學(xué)生,其中名不喜歡甜品.現(xiàn)從這兩個(gè)系的學(xué)生中,各隨機(jī)抽取人,記抽出的人中不喜歡甜品的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
附:.
0.15 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知A,B,C是橢圓W: 上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)當(dāng)點(diǎn)B是W的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積;
(2)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.
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