Question

已知函數(shù)f（x）=

x+ 1 x (x＞0) x2+4(x≤0)

g（x）=x²+2x，則方程f[g（x）]=a（a＞2）的根的個(gè)數(shù)不可能為（　　）

• A、3
• B、4
• C、5
• D、6

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用,根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用換元法將方程進(jìn)行分解，作出對(duì)應(yīng)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)t=g（x），則方程等價(jià)為f（t）=a，a＞2，
作出f（x）的圖象如圖：
∵a＞2，
∴當(dāng)a≥4時(shí)，f（t）=a有三個(gè)解，滿足t≤0或者0＜t＜1或t＞1．
當(dāng)2＜a＜4時(shí)，f（t）=a有兩個(gè)解，滿足0＜t＜1或t＞1．
對(duì)應(yīng)g（x）的圖象為：
則當(dāng)t＞1時(shí)，方程t=g（x），有兩個(gè)根，
當(dāng)0＜t＜1時(shí)，方程t=g（x），有兩個(gè)根，
當(dāng)t≤0時(shí)，方程t=g（x），可能有兩個(gè)根，可能有一個(gè)，可能沒(méi)有，
即方程方程f[g（x）]=a（a＞2）至少有4個(gè)根，
故方程f[g（x）]=a（a＞2）的根的個(gè)數(shù)不可能為3，
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查方程根的個(gè)數(shù)的判斷，利用換元法以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．