Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知2an-1=Sn，n∈N*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）利用a_n=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由題意知na_n=n•2^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{na_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵2an-1=Sn，n∈N*，
∴當(dāng)n=1時(shí)，2a₁-1=a₁，解得a₁=1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，
∴a_n=2a_n-1，
∴{a_n}是首項(xiàng)為a₁=1，公比為q=2的等比數(shù)列，
∴an=2n-1，n∈N^*．
（Ⅱ）∵an=2n-1，
∴na_n=n•2^n-1，
∴T_n=1•2⁰+2•2+3•2²+…+n•2^n-1，①
2T_n=1•2+2•2²+3•3³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得：-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1×(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ
=2ⁿ-1-n•2ⁿ，
∴Tn=(n-1)•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．