Question

14．在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點（2，1）在橢圓C上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線l與圓O：x²+y²=2相切，與橢圓C相交于P，Q兩點．
①若直線l過橢圓C的右焦點F，求△OPQ的面積；
②求證：OP⊥OQ．

Answer 1

分析 （1）利用已知條件列出方程，求出橢圓的幾何量，即可得到橢圓方程．
（2）①橢圓C的右焦點$F（{\sqrt{3}，0}）$．設切線方程為$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，利用點到直線的距離公式，求出K得到直線方程，聯立直線與橢圓方程，求出交點坐標，得到PQ，然后求解三角形的面積．
②（i）若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$．利用$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，推出OP⊥OQ．
（ii）若直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為y=kx+m，通過$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，將直線PQ方程代入橢圓方程，設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），利用韋達定理，結合m²=2k²+2，$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，推出結果．

解答 解：（1）由題意，得$\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得a²=6，b²=3．
所以橢圓的方程為$\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$．
（2）①橢圓C的右焦點$F（{\sqrt{3}，0}）$．
設切線方程為$y=k（{x-\sqrt{3}}）$，即$kx-y-\sqrt{3}k=0$，
所以$\frac{{|{-\sqrt{3}k}|}}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，解得$k=±\sqrt{2}$，所以切線方程為$y=±\sqrt{2}（{x-\sqrt{3}}）$．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=\sqrt{2}（{x-\sqrt{3}}）\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{4\sqrt{3}+3\sqrt{2}}}{5}\\ y=\frac{{-\sqrt{6}+6}}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{{4\sqrt{3}-3\sqrt{2}}}{5}\\ y=\frac{{-\sqrt{6}-6}}{5}\end{array}\right.$，
所以$PQ=\frac{{6\sqrt{6}}}{5}$．
因為O到直線PQ的距離為$\sqrt{2}$，所以△OPQ的面積為$\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．
綜上所述，△OPQ的面積為$\frac{{6\sqrt{3}}}{5}$．
②（i）若直線PQ的斜率不存在，則直線PQ的方程為$x=\sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$．
當$x=\sqrt{2}$時，$P（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}），Q（{\sqrt{2}，-\sqrt{2}}）$．
因為$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，所以OP⊥OQ．
當$x=-\sqrt{2}$時，同理可得OP⊥OQ．
（ii）若直線PQ的斜率存在，設直線PQ的方程為y=kx+m，即kx-y+m=0．
因為直線與圓相切，所以$\frac{|m|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\sqrt{2}$，即m²=2k²+2．
將直線PQ方程代入橢圓方程，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-6=0．
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則有${x_1}+{x_2}=-\frac{4km}{{1+2{k^2}}}，{x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-6}}{{1+2{k^2}}}$，
因為$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}+（{k{x_1}+m}）（{k{x_2}+m}）=（{1+{k^2}}）{x_1}{x_2}+km（{{x_1}+{x_2}}）+{m^2}$=$（{1+{k^2}}）×\frac{{2{m^2}-6}}{{1+{k^2}}}+km×（{-\frac{4km}{{1+{k^2}}}}）+{m^2}$．
將m²=2k²+2代入上式可得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}=0$，所以OP⊥OQ．
綜上所述，OP⊥OQ．

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．