Question

已知函數(shù)，其中。。
（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求實數(shù)a的值；
（2）若函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）若函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

（1）；
（2）；
（3）

本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
（1）根據(jù)是函數(shù)的極值點(diǎn)，得到在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為零得到參數(shù)a的值。
（2）函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)處切線的斜率恒成立，則利用導(dǎo)數(shù)恒小于等于2.5求解實數(shù)a的取值范圍；
（3）因為函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，則利用導(dǎo)數(shù)來分析函數(shù)的單調(diào)性，得到極值與x軸的位置關(guān)系，得到結(jié)論。
解：
      ------------------2分
（1）且          ---------4分
（2）對任意的恒成立      -----------5分
對任意的恒成立   
 
而當(dāng)時，取最大值為1，
，且，        --------------------7分
（3），且
；或；
在和上遞增；而在上遞減。 ----8分
當(dāng)時
i），則在上遞增，在上不可能有兩個零點(diǎn)。-9分
ii），則在上遞減，而在上遞增。      
在上有極小值（也就是最小值）
而
    
時，在上有兩個零點(diǎn)。---------------------12分
iii），則在上遞減，在上不可能有兩個零點(diǎn)。--13分
綜上所述：            -------------------14分