已知向量
a
=(2cosx,cos2x),
b
=(sinx,1),令f(x)=
a
b

(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[
π
8
,
8
]且f(x)=
2
2
,求cos2x的值.
分析:(I)利用向量的數(shù)量積,二倍角與兩角和的正弦函數(shù)化簡函數(shù)為 一個角的一個三角函數(shù)的形式,通過正弦函數(shù)的單調(diào)性求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)通過x∈[
π
8
,
8
]得到2x+
π
4
∈[
π
2
,π]
結(jié)合f(x)=
2
2
,求出2x的值,然后求cos2x的值.
解答:解:(Ⅰ)f(x)=
a
b
=2sinx•cosx+cos2x=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+
π
4
)

-
π
2
+2kπ<2x+
π
4
π
2
+2kπ,k∈Z
-
8
+kπ<x<
π
8
+kπ,k∈Z

∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-
8
+kπ,
π
8
+kπ)(k∈Z)

(Ⅱ)當(dāng)x∈[
π
8
,
8
]時,2x+
π
4
∈[
π
2
,π]
,由f(x)=
2
2
sin(2x+
π
4
)=
1
2

2x+
π
4
=
6
,解得2x=
12

所以cos2x=cos
12
=cos105°=
2
-
6
4
點評:本題是中檔題,考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力,?碱}型.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosx,2sinx),
b
=(cosx,-
3
cosx)
,函數(shù)f(x)=
a
b
g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax
(a為常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程;
(2)若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,求g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2011)的值;
(3)已知對任意實數(shù)x1,x2,都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|
成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取“=”.求證:當(dāng)a>
3
時,函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(2cosx,sin2x),
b
=(2sinx,cos2x)(x∈R),且f(x)=|
a
|-|
b
|,則f(x)的最大值
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
a
=(2cosx,2sinx),
b
=(cosx,-
3
cosx)
,函數(shù)f(x)=
a
b
g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax
(a為常數(shù)).
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程;
(2)若函數(shù)g(x)的圖象關(guān)于y軸對稱,求g(1)+g(2)+g(3)+…+g(2011)的值;
(3)已知對任意實數(shù)x1,x2,都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|
成立,當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2時取“=”.求證:當(dāng)a>
3
時,函數(shù)g(x)在(-∞,+∞)上是增函數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知向量
a
=(2cosx,cos2x),
b
=(sinx,1),令f(x)=
a
b
,
(I)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)x∈[
π
8
,
8
]且f(x)=
2
2
,求cos2x的值.

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