Question

對(duì)于各項(xiàng)均為整數(shù)的數(shù)列{a_n}，如果a_i+i（i=1，2，3，…）為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列{a_n}具有“P性質(zhì)”．不論數(shù)列{a_n}是否具有“P性質(zhì)”，如果存在與{a_n}不是同一數(shù)列的{b_n}，且{b_n}同時(shí)滿足下面兩個(gè)條件：
①b₁，b₂，b₃，…，b_n是a₁，a₂，a₃，…，a_n的一個(gè)排列；
②數(shù)列{b_n}具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列{a_n}具有“變換P性質(zhì)”．
下面三個(gè)數(shù)列：
①數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和Sn=

n

3

(n2-1)；
②數(shù)列1，2，3，4，5；
③1，2，3，…，11．
具有“P性質(zhì)”的為

①

；具有“變換P性質(zhì)”的為

②

．

Answer 1

分析：對(duì)于①，求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)，驗(yàn)證a_i+i=i²（i=1，2，3，…）為完全平方數(shù)，可得結(jié)論；
對(duì)于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換P性質(zhì)”，數(shù)列{b_n}為3，2，1，5，4，具有“P性質(zhì)”；
對(duì)于③，因?yàn)?1，4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，所以1，2，3，…，11，不具有“變換P性質(zhì)”．

解答：解：對(duì)于①，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-n
∵a₁=0，∴an=n2-n
∴a_i+i=i²（i=1，2，3，…）為完全平方數(shù)
∴數(shù)列{a_n}具有“P性質(zhì)”；
對(duì)于②，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換P性質(zhì)”，數(shù)列{b_n}為3，2，1，5，4，具有“P性質(zhì)”，∴數(shù)列{a_n}具有“變換P性質(zhì)”；
對(duì)于③，因?yàn)?1，4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，所以1，2，3，…，11，不具有“變換P性質(zhì)”．
故答案為：①，②．

點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解新定義是關(guān)鍵．